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人半规管空间姿态数学模型

  • 由

各半规管的空间姿态即三维空间中的位置和方向，对于我们前庭功能检查以及BPPV诊疗有非常重要的意义。由于半规管位于颞骨深部，结构复杂细微，难以直接观察测量，而且还需要建立空间坐标系，使得有关半规管空间姿态的研究较少，而且研究报道数据常不一致12 3456，且常缺乏可靠空间坐标系而局限于半规管形态学和半规管之间相对位置关系的研究78910111213。随着现代医学影像学和计算机技术的发展，半规管三维重建和半规管平面拟合以及空间姿态测量成为研究热点。BRADSHAW通过半自动化半规管分割、半规管取中心线、半规管平面和曲面模拟对半规管空间姿态进行了研究，其测量方法较其他文献报道的手工测量更为可靠，但其最大的不足是没有建立头部空间坐标系，其所建立的各半规管平面方程并不位于标准空间坐标系，使得其测量结果应用受限9。作者解释没有建立头部空间坐标系的原因是难以确定建立坐标系所需要的标志点位置，部分原因是扫描范围不足没有包括标志点位置。常用的三维空间坐标系包括法兰克福坐标系413和Reid坐标系3。法兰克福平面是由左右侧耳门上点和左侧眶下缘点三点所确定的平面。Reid平面是左右侧耳门中点和眶下缘点所确定的平面。
MRI影像寻找骨性标志点更加困难，有研究试图通过半规管和研究建立空间坐标系，并认为半规管总管顶端和眼球中心连线构成水平面1415。但进一步的研究显示，半规管总管顶端和眼球底部所构成的平面和法兰克福平面平行，可以据此建立空间坐标系16。

既往的研究是先计算各半规管平面和坐标面的夹角，然后再计算夹角的平均值。实际上，半规管空间方向是由其平面法向量确定，而平面法向量的单位矢量坐标值等于方向角的余弦值，其均值计算也应该是方向角的余弦值的均数，而非角度的均数。

本研究计划通过分割半规管和眼球确立空间坐标系，取半规管中心线拟合平面获取法向量，最终建立基于各半规管平面平均单位法向量的人半规管空间姿态数学模型，以便于前庭相关研究和应用。

资料和方法

临床资料

自2014 年1 月~ 2019 年12 月本院正常人内耳检查67例。
入选标准: ( 1 ) 半规管显示清晰,没有伪影 （2） 眼球底部显示清晰,没有伪影 （3）可以分割获取完整半规管模型
排除标准: ( 1) 存在局部病变可能影响半规管解剖结构; ( 2) 存在头颅结构异常。

检查方法

采用Siemens公司1. 5T超导型磁共振系统,标准头线圈,应用三维稳态构成干预序列( 3D constructive interference insteady state,3D-CISS) 进行内耳检查,扫描参数为: TR: 6. 0ms,TE: 2. 7ms,FOV:135X180,matrix( 矩阵) : 256X192,层厚0. 7mm。

图像处理和建立模型

从医学影像信息系统( Picture Archiving and Communication Systems,PACS) 导出原始图像资料保存为Dicom格式; 用3D Slicer 4.10.2 软件读取目录获取影像,自动化导出3D-CISS序列保存为NII格式。半自动化分割34例半规管和眼球，分别导出保存为STL格式17。

半规管空间姿态分析

1.半规管中心线获取
VMTK是一个使用ITK，VTK用于血管结构分割、提取、分析的开源C++库，有提供3D Slicer软件的插件，主要利用其vtkvmtkPolyDataCenterline功能来获取内耳中心线模型18。将内耳中心线模型转为点数组，通过分析可知，整个内耳的中心线包括了三个半规管中心环，各环之间有共同交叉点。交叉点在数组中出现至少3次，其中半规管中心环交叉点之间距离具备固定模式，据此可以排除其他异常交叉点。计算交叉点之间各点连线距离，根据环长度从大到小依次为后半规管、上半规管和外半规管，并且后半规管和上半规管的上方交叉点为总管顶端。
2.构建标准空间坐标系
首先，建立初始半规管眼底平面，取眼球坐标最低点（Z值最小），和两侧总管顶端构成平面并计算平面方程。然后，调整半规管眼球平面，通过分析眼球各点到平面的距离公式，取各点在平面方程的最大值点坐标为眼球在标准坐标系的最低点，其与两侧总管顶端构成半规管眼底平面。半规管眼底平面作为标准空间坐标系的横断面，在自然平视位和水平面平行，其法向量为Z轴。半规管左右对称，选择两总管顶端连线为X轴，进一步确定Y轴为X和Z轴的叉乘。为和3D Slicer的空间坐标系表示一致，采用右手笛卡尔坐标系，使用Z轴朝上，X轴向右，Y轴先里。

3.半规管平面拟合
根据最小二乘法分别计算各半规管中心线点数组拟合平面，为确定其在标准空间坐标系的位置，还需要进一步计算其法向量和标准空间坐标系各轴的夹角（方向角），根据方向角余弦（方向余弦）建立在标准空间坐标系中的单位法向量。
设半规管平面法向量a={x,y,z}, 其和标准空间坐标系X,Y,Z轴的夹角分别为α,β,γ，向量a°是向量a在在标准空间坐标系中的单位法向量，
则 a°=(\cosα)i+(\cosβ)j+(\cosγ)k, 式中，i,j,k 是坐标单位向量。

4.建立半规管姿态数学模型
计算后半规管、上半规管和外半规管平面方程及其法向量在标准空间坐标系的单位向量，建立各半规管平面平均单位法向量，以此作为人半规管空间姿势数学模型。

结果

半规管和眼球分割

眼球和周围组织的分界较清晰，基于阈值即可快速分割。内耳由于半规管和耳蜗的分割阈值不同，基于阈值的分割较难。3D Slicer的Segment Editor模块阈值分割功能提供多种自动化阈值寻找的方法。Otsu法分割的半规管模型不够光滑17，将标记膨胀提取为体素模型，通过Grayscale model maker的等值面提取(Marching cubes)功能转为表面模型，可以使得半规管表面较为光滑。

半规管形态理解

1）关键交叉点判别：
基于半自动化分割的半规管模型其形状一致性较好，中心线大多包括4个关键点包括总管顶端(A)连接后半规管(AD)、前半规管(AC)；C连接上半规管(CA)、外半规管(CB)和椭圆囊(E)，B和D可能重合；D连接后半规管(DA)、和椭圆囊(DE)。关键点一一连接直接距离位于2~7之间，据此可以将其他异常点排除。
根据关键点的空间位置不同，即A、C高于B、D、E，A位于C后，B、D位于E后，B和D重合或高于D，可以将关键点进行识别。
2）半规管识别
后半规管、上半规管和外半规管中心线长度依次递减，但有时候会存在其他异常连线情况影响判断。将中心线模型转为点数组，判断关键点重复出现的位置，对关键点之间的线段进行分析。根据线段起止关键点信息结合点位置间隔距离可以判断线段归属，AB之间为后半规管，AC之间为前半规管，BC之间为外半规管。


3) 半规管空间姿态数学模型

通过计算34对内耳的后、上、外半规管平面的法向量之和，获取各半规管平面的平均单位法向量，其空间坐标值分别为标准空间坐标系X,Y,Z轴方向角的余弦值，进而可以反余弦推算半规管平面和对应的矢状面、冠状面和水平面的夹角（见表1）。
表1：矢量法计算各半规管平面和坐标面的夹角

半规管 矢状面夹角(°) 冠状面夹角(°) 水平面夹角(°)
psp_r 51.587891262 43.7432989733 72.3389049861
asp_r 47.0653569347 57.5865840213 60.0864920426
hsp_r 90.0803698112 106.853674615 16.85387776
psp_l 49.0636695296 46.261204499 72.2747183602
asp_l 44.761739992 57.1167957348 63.3583574866
hsp_l 90.699141389 105.148644823 15.1655459971

注：psp:后半规管；asp:上半规管；hsp:外半规管；r:右侧；l:左侧

传统的方法，是先计算各半规管平面和坐标面的夹角，然后再计算夹角的平均值（见表2）
表2：数学平均法计算各半规管平面和坐标面的夹角

半规管 矢状面夹角(°) 冠状面夹角(°) 水平面夹角(°)
psp_r 52.48866891 45.4532462781 72.8580574996
asp_r 55.7586569725 64.7827197573 67.2170562102
hsp_r 90.0791088851 106.767856039 17.7050932932
psp_l 53.79169078 51.331301279 74.3762978869
asp_l 49.732408818 60.7712049167 66.3510583094
hsp_l 90.6996430691 105.051328365 16.5430316111

表3：不同方法建立的半规管数学模型差异

半规管 矢量法平面法向量 数学平均法平面法向量 矢量夹角(°)
psp_r [0.6213133901014006, 0.7224448330141964, 0.3033861145881807] [0.6089183144902414, 0.7014910477997136, 0.29473992006550065] 12.95723762363609
asp_r [0.6811636659818686, 0.5360244822054587, 0.4986921040298812] [0.5626800296164244, 0.4260521654390832, 0.3872411425859271] 36.412367859282014
hsp_r [-0.001402717364644302, -0.28992848570217633, 0.9570472849141148] [-0.0013807100738877926, -0.28849467806163764, 0.9526344505508063] 5.521015424751356
psp_l [0.6552199584111159, 0.6913717803882533, 0.3044533911492484] [0.5907226894136693, 0.6248162058221762, 0.26931823860073595] 25.70641794468299
asp_l [0.7100411070325475, 0.5429282997165775, 0.4484088398964027] [0.6463582799065573, 0.48829830109544153, 0.40113163762280574] 25.321397454698026
hsp_l [-0.012202016363311865, -0.26132411281894924, 0.9651739837227035] [-0.012210771680521834, -0.25968426478530027, 0.9586061566487983] 6.669567308740359

讨论

脏器功能总是和其解剖学特点精密关联。但和其他脏器不同，对于半规管功能的研究，不仅需要了解半规管的解剖形态学特点，还需要了解半规管在三维空间中的位置和方向。近年来随着眩晕病学的发展，尤其是BPPV诊疗的需求，更是急迫需要半规管的空间姿态知识。
既往对于半规管解剖的研究通常利用尸体进行，常局限于解剖形态，对于半规管空间姿态的研究不足。近年来随着医学影像学的发展，使得通过颞骨影像数据分割获取半规管来研究其解剖学形态和空间姿势成为可能。
测量半规管空间方向的前提是要确立空间坐标系。常用的三维空间坐标系包括法兰克福坐标系13和Reid坐标系3，需要根据骨性坐标点包括耳门上点或中点和眶下缘点来确定。由于扫描范围不足没有包括骨性坐标点，或者MRI扫描难以辨识骨性坐标点，难以建立空间坐标系，使得半规管空间姿势的研究收到限制。
研究发现半规管总管顶端和眼球底部构成的平面和法兰克福平面平行，这使得通过半规管和眼球来建立空间坐标系成为可能，尤其适合于自动化构建标准空间坐标系16。

测量半规管空间方向还需要获取半规管平面。有不同的方法可以建立半规管平面，包括在半规管不同位置取三点坐标，取平分半规管的平面，取半规管中心线等。其中以自动化取半规管中心线构建半规管平面的方法最为科学9。
skimage的skeletonize是支持3d图像骨架提取的，但VMTK有提供3D Slicer软件的插件，通过python编程可以调用其vtkvmtkPolyDataCenterline功能来获取内耳模型的中心线，并可以在3D Slicer软件中观察分析。
传统不同的研究测量半规管空间方向总是计算各个半规管和矢状面、冠状面和横断面的夹角，然后取各个坐标平面夹角的平均值作为半规管的空间方向（表2）。设这个基于夹角数学平均法法求得的半规管平面单位法向量为 \vec{nu},则
$\vec{nu} = (\cos{\sum_{i=1}^n \frac{αi}{n}} )i + (\cos{\sum{i=1}^n \frac{βi}{n} } )j + ( \cos{\sum{i=1}^n \frac{γ_i}{n} })k其中n为半规管平面数量，α_i,β_i,γ_i分别为第i个半规管的方向角,i,j,k是坐标单位向量。这个方法的正确性需要进一步探讨和验证。

根据二面角原理，两个平面的夹角等于其法向量的夹角或夹角的补角。如此，可以将半规管空间方向的测量转换成其法向量的方向角问题。
半规管平面法向量为三维空间矢量，其单位向量的坐标值为其方向角的余弦值。不同于平均角度均值的计算，向量的均值计算为计算方向角的余弦值的均值（见表1），即要将各个半规管平面的单位法向量相加求得其单位法向量 \vec{nu} ，即 \alpha = \sum_{i=1}^n \cos{\alpha_i} \beta = \sum_{i=1}^n \cos{\beta_i} \gamma =\sum_{i=1}^n \cos{\gamma_i} Z= \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2} \vec{nu} =\frac{\alpha}{Z}i + \frac{\beta}{Z}j+ \frac{\gamma}{Z}k其中n为半规管平面数量，α_i,β_i,γ_i分别为第i个半规管的方向角,i,j,k$ 是坐标单位向量。
和角度值数学平均法（表2）相比，计算半规管平面法向量的平均值（表1）在方法学上更为直观，准确，其结果也不完全一致，尤其是上半规管的数据。其可能原因是上半规管的非平面性较明显，个体差异较大89，会导致角度值数学平均法结果更加不准确。

不仅如此，对于半规管的空间方向的理解，也常常是基于二维平面直线夹角的直观认识，比如后半规管和矢状面的夹角为45度，就认为后半规管绕Z轴旋转45度后和矢状面平行。这个问题同样可以转换为半规管平面法向量的旋转。

在二维平面上，单位矢量\vec{v_1}和单位矢量\vec{v_2}的夹角为\theta,矢量\vec{v_1}转动角度\theta后和矢量\vec{v_2}平行是对的。从三维的角度来观察，其旋转轴为矢量\vec{v_1}和矢量\vec{v_2}所构成的平面的法向量\vec{u}。

同理，后半规管和矢状面的夹角为45度，要使得后半规管旋转后和矢状面平行，也就是要使得后半规管平面法向量\vec{v_1}旋转后和矢状面的法向量\vec{v_2}（X轴）平行，应该是绕着矢量\vec{v_1}和矢量\vec{v_2}所构成的平面的法向量\vec{u}转动45度，而非绕着Z轴旋转。

根据表1半规管平面和坐标面的夹角可以构建平面法向量的单位矢量，其坐标值为方向角的余弦值，由此可以建立人半规管空间姿态数学模型。将半规管平面法向量具象化，可以指导半规管的空间旋转，如旋转右侧后半规管使其和矢状面平行，只要旋转其平面法向量（蓝色线）和矢状面的法向量X轴平行即可。

红色，蓝色，绿色分别表示右侧外半规管、后半规管和上半规管平面法向量，内侧十字表示Y轴和Z轴。

鉴于既往半规管和坐标平面夹角的相关研究数据的计算方法并不准确，且大部分研究采用手工取点和测量，不能满足精确了解半规管空间姿态的需求。为此，我们采用半规管平面自动拟合技术，使用半规管平面法向量矢量均数计算方法代替角度均数计算方法获取半规管空间方向，由此建立半规管空间姿态数学模型，可以指导前庭功能检查如甩头试验，也有助于指导BPPV的诊疗操作和研究。

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